Question

在边长为1cm的正△ABC中，P₀为BC边上一点，作P₀P₁⊥CA于点 P₁，作P₁P₂⊥AB于点P₂，作P₂P₃⊥BC于点P₃．如果点P₃恰与点P₀重合，则△P₁P₂P₃的面积是

 

cm²．

Answer 1

分析：过A作AD⊥BC于D，根据等边三角形的性质和勾股定理求出BD、AD，计算三角形的面积，求出∠CP₃P₁=30°，推出CP₃=2CP₁，设CP₁=a，AP₂=b，BP₃=c，推出CP₃=2a，AP₁=2b，BP₂=2c，得到方程组

a+2b=1 b+2c=1 c+2z=1

，求出a=b=c，即可求出a、b、c，根据三角形的面积公式求出即可．

解答：解：
过A作AD⊥BC于D，
∵等边三角形ABC，
∴BD=DC=

1

2

，
由勾股定理得：AD=

3

2

，
∴△ABC的面积是

1

2

×BC×AD=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

，
∵等边三角形ABC，
∴∠C=60°，
∵P₃P₁⊥AC，
∴∠CP₃P₁=30°，
∴CP₃=2CP₁，
设CP₁=a，AP₂=b，BP₃=c，
∴CP₃=2a，
同理AP₁=2b，BP₂=2c，
∴

a+2b=1 b+2c=1 c+2z=1

，
解得：a=b=c，
即3a=1，
∴a=b=c=

1

3

，
2a=2b=2c=

2

3

，
由勾股定理得：P₃P₁=P₁P₂=P₂P₃=

3

3

，
∴△P₁P₂P₃的面积是S_△ABC-S△CP3P1-S△A P1P2 -S△BP2P3=

3

4

-3×

1

2

×

1

3

×

3

3

=

3

12

，
故答案为：

3

12

．

点评：本题主要考查对三角形的面积，三角形的内角和定理，勾股定理，面积与等积变形，等边三角形的面积，含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．