Question

在边长为1cm的正△ABC中，P₀为BC边上一点，作P₀P₁⊥CA于点 P₁，作P₁P₂⊥AB于点P₂，作P₂P₃⊥BC于点P₃．如果点P₃恰与点P₀重合，则△P₁P₂P₃的面积是________cm²．

Answer 1

分析：过A作AD⊥BC于D，根据等边三角形的性质和勾股定理求出BD、AD，计算三角形的面积，求出∠CP₃P₁=30°，推出CP₃=2CP₁，设CP₁=a，AP₂=b，BP₃=c，推出CP₃=2a，AP₁=2b，BP₂=2c，得到方程组，求出a=b=c，即可求出a、b、c，根据三角形的面积公式求出即可．
解答：解：
过A作AD⊥BC于D，
∵等边三角形ABC，
∴BD=DC=，
由勾股定理得：AD=，
∴△ABC的面积是×BC×AD=×1×=，
∵等边三角形ABC，
∴∠C=60°，
∵P₃P₁⊥AC，
∴∠CP₃P₁=30°，
∴CP₃=2CP₁，
设CP₁=a，AP₂=b，BP₃=c，
∴CP₃=2a，
同理AP₁=2b，BP₂=2c，
∴，
解得：a=b=c，
即3a=1，
∴a=b=c=，
2a=2b=2c=，
由勾股定理得：P₃P₁=P₁P₂=P₂P₃=，
∴△P₁P₂P₃的面积是S_△ABC---=-3×××=，
故答案为：．
点评：本题主要考查对三角形的面积，三角形的内角和定理，勾股定理，面积与等积变形，等边三角形的面积，含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．