Question

如图，△ABC中，AB=10，BC=8，AC=6，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）连接OD，由角的等量关系证明OD∥AC，证明∠C=∠ODB=90°；
（2）在Rt△ABC中，解得AB，由三角形相似列出关系式解得半径．

解答：（1）证明：连接OD，∵AB=10，BC=8，AC=6，∴BC²+AC²=AB²，
∴∠C=90°，（1分）
∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠1=∠2．
∵OA=OD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3．
∴AC∥OD．（2分）
∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．
∴BC是⊙O的切线．（3分）

（2）解：由（1）可知，AC∥OD，
∴△OBD∽△ABC，
∴

OD

AC

=

BD

BC

，
即

OD

BD

=

6

8

=

3

4

．（4分），
设OD=3x，则BD=4x，∴OA=OD=3x，OB=10-3x，
在Rt△ODB中，OB=

OD2+BD2

=5x，
∴10-3x=5x，
解得x=

5

4

，
∴OD=

15

4

，（5分）
即⊙O的半径为

15

4

．

点评：本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．