Question

【题目】如图，点M是正方形ABCD内一点，△MBC是等边三角形，连接AM、MD．对角线BD交CM于点N，现有以下结论：①∠AMD＝150°；②MA2＝MNMC；③；④，其中正确的结论有____（填写序号）．

Answer 1

【答案】①②③④．

【解析】

①先根据等边三角形得∠CMB＝60°，再根据等腰三角形的性质得∠AMB＝∠CMD＝75°，最后根据周角的定义可得结论；

②证明△MND∽△MDC，列比例式可得结论；

③如图1，作辅助线，设NH＝x，根据平行线分线段成比例定理得结论．

④如图2，设MG＝x，根据直角三角形30度角的性质和勾股定理分别计算BC、AG、BG的长，根据面积公式计算可得结论；

∵△MBC是等边三角形，

∴∠MBC＝∠MCB＝∠CMB＝60°，BM＝BC，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝BC，

∴∠ABM＝∠DCM＝30°，

∵AB＝BM，

∴∠AMB＝∠BAM＝（180°﹣30°）＝75°，

同理∠CMD＝∠CDM＝75°，

∴∠AMD＝360°﹣75°﹣75°﹣60°＝150°；

故①正确；

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BDC＝45°，

∴∠MDN＝∠CDM﹣∠BDC＝75°﹣45°＝30°，

∵∠CMD＝∠CMD，∠MDN＝∠DCM＝30°，

∴△MND∽△MDC，

∴＝，

∴DM2＝MNMC，

∵∠BAD＝∠ADC，∠BAM＝∠CDM，

∴∠MAD＝∠MDA，

∴MA＝DM，

∴MA2＝MNMC，

故②正确；

过N作NH⊥CD于H，设NH＝x，如图1所示：

则NH⊥BC，∠NDH＝∠DNH＝45°，

∴NH＝DH＝x，

∵∠NCH＝30°，∠CHN＝90°

∴CN＝2x，CH＝x，

∵NH∥BC，

∴＝＝＝，

故③正确；

过M作MG⊥AB于G，如图2所示：

设MG＝x，

Rt△BGM中，∠GBM＝30°，

∴BM＝BC＝AB＝2x，BG＝x，

∴AG＝2x﹣x，

∴＝＝＝＝，

故④正确；

故答案为：①②③④．