Question

【题目】如图一，AB为⊙O直径，PB为⊙O切线，点C在⊙O上，弦AC∥OP．

（1）求证：PC为⊙O的切线．

（2）如图二，OP交⊙O于D，DA交BC于G，作DE⊥AB于E，交BC于F，若CG＝3，DF＝，求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AC＝6．

【解析】

（1）连OC，由AC∥OP，得到∠BOP=∠OAC，∠POC=∠OCA，则∠BOP=∠POC，可得△POB≌△POC，得到∠PBO=∠PCO，而PB为⊙O的切线，得∠OBP=90°，所以∠PCO=90°，根据切线的判定即可得到PC为⊙O的切线；
（2）连BD，由AB为⊙O的直径，得∠ADB=90°，而DE⊥AB，则∠BDE=∠BAD，所以∠BDE=∠BAD，从而易得到∠DBG=∠BDF，有BF=DF=FG=，BC=8，得到BH=，BC=8．易证Rt△BOH≌Rt△DOE，得DE=BH=8，则EF=DE-DF=8-5=3，在Rt△BEF中，利用勾股定理可求得BE=4，在Rt△DOE中，利用勾股定理即可得到⊙O的半径于是得到直径，根据勾股定理得到AC，于是得到结论．

（1）连OC，如图，

∵AC∥OP，

∴∠BOP＝∠OAC，∠POC＝∠OCA，

∵OA＝OC，即∠OCA＝∠OAC，

∴∠BOP＝∠POC，

在△POB与△POC中，

∴△POB≌△POC（SAS），

∴∠PBO＝∠PCO，

而PB为⊙O的切线，

∴∠OBP＝90°，

∴∠PCO＝90°，

∴PC为⊙O的切线；

（2）连BD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

而DE⊥AB，

∴∠BDE＝∠BAD，

由（1）得∠BOP＝∠COP，

∴∠BAD＝∠DBF，

∴∠DBG＝∠BDF，

∵∠DBG+∠DGF＝90°，∠BDF+∠GDF＝90°，

∴∠FGD＝∠FDG，

∴BF＝DF＝FG＝，

∵∠ADE+∠DAE＝∠AGF+∠CAG＝∠CAG+∠DGF＝90°，

∴∠ADE＝∠DGF，

∴DF＝GF，

∴BC＝++3＝8，

∵OC＝OB，PC＝PB，

∴OP垂直平分线段BC，

∴BH＝BC＝4，

在Rt△BOH与Rt△DOE中，

∴Rt△BOH≌Rt△DOE（ASA），

∴DE＝BH＝4．

∴EF＝DE﹣DF＝，

在Rt△BEF中，BE＝＝2，

设⊙O半径为r，在Rt△DOE中，r2＝42+（r﹣2）2．

∴r＝5．

∴AB＝10，

∴AC＝＝6．