Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y₁=kx的图象与反比例函数y₂=

m

x

图象交于A、B两点．
（1）根据图象，求一次函数和反比例函数解析式；
（2）根据图象直接写出kx＞

m

x

的解集为

 

；
（3）若点P在y轴上，且满足以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形，试直接写出点P所有可能的坐标为

 

．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：计算题

分析：（1）直接把B点坐标分别代入y₁=kx和y₂=

m

x

中，求出khe1m的值，从而得到一次函数和反比例函数解析式；
（2）观察函数图象得到当x＜-2或0＜x＜2时，一次函数图象都在反比例函数图象的上方，即有kx＞

m

x

；
（3）设P点坐标为（0，t），而A（-2，2），B（2，-2），根据两点间的距离公式实数PA²=2²+（t-2）²，PB²=2²+（t+2）²，AB²=4²+4²=32，然后分类讨论：当∠APB=90°时，根据勾股定理得2²+（t-2）²+2²+（t+2）²=32；当∠PAB=90°时，根据勾股定理得2²+（t-2）²+32=2²+（t+2）²；
当∠PBA=90°时，根据勾股定理得2²+（t+2）²+32=2²+（t-2）²，再分别解方程求出t的值，最后写出P点坐标．

解答：解：（1）把B（2，-2）代入y₁=kx得k=-1，
∴一次函数解析式为y₁=-x；
把B（2，-2）代入y₂=

m

x

得m=2×（-2）=-4，
∴反比例函数解析式为y₂=-

4

x

；
（2）把x=-2代入y₂=-

4

x

得y=2，
∴A点坐标为（-2，2），
∴当x＜-2或0＜x＜2时，kx＞

m

x

；
（3）设P点坐标为（0，t），而A（-2，2），B（2，-2），
∴PA²=2²+（t-2）²，PB²=2²+（t+2）²，AB²=4²+4²=32，
当∠APB=90°时，则PA²+PB²=AB²，即2²+（t-2）²+2²+（t+2）²=32，解得t=±2

2

，此时P点坐标为（0，2

2

）或（0，-2

2

）；
当∠PAB=90°时，则PA²+AB²=PB²，即2²+（t-2）²+32=2²+（t+2）²，解得t=4，此时P点坐标为（0，4）；
当∠PBA=90°时，则PB²+AB²=PA²，即2²+（t+2）²+32=2²+（t-2）²，解得t=-4，此时P点坐标为（0，-4）；
综上所述，P点坐标为（0，4）、（0，-4）、（0，2

2

）、（0，-2

2

）．
故答案为x＜-2或0＜x＜2；（0，4）、（0，-4）、（0，2

2

）、（0，-2

2

）．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了勾股定理基恩分类讨论的思想．