Question

【题目】已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．

（1）如图（1），连接AF、CE．

①四边形AFCE是什么特殊四边形？说明理由；

②求AF的长；

（2）如图（2），动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

Answer 1

【答案】（1） ①菱形，理由见解析；②AF＝5；（2） 秒．

【解析】

（1）①先证明四边形ABCD为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；

②根据勾股定理即可求AF的长；

（2）分情况讨论可知，P点在BF上；Q点在ED上时；才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可．

（1）①∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE．

∵EF垂直平分AC，

∴OA＝OC．

在△AOE和△COF中，

∴△AOE≌△COF(AAS)，

∴OE＝OF(AAS)．

∵EF⊥AC，

∴四边形AFCE为菱形．

②设菱形的边长AF＝CF＝xcm，则BF＝(8﹣x)cm，

在Rt△ABF中，AB＝4cm，由勾股定理，得

16+(8﹣x)2＝x2，

解得：x＝5，

∴AF＝5．

（2）由作图可以知道，P点AF上时，Q点CD上，此时A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；

同理P点AB上时，Q点DE或CE上，也不能构成平行四边形．

∴只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，

∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，

∴PC＝QA，

∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，

∴PC＝5t，QA＝12﹣4t，

∴5t＝12﹣4t，

解得：t＝．

∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝秒．