Question

在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数的图象与x，y轴分别交于点A，B，则△OAB为此函数的坐标三角形．
（1）求函数y=-

3

4

x+3的坐标三角形的三条边长；
（2）若函数y=-

3

4

x+b（b为常数）的坐标三角形周长为16，求此三角形面积．

Answer 1

分析：（1）先求函数y=-

3

4

x+3与x、y轴的交点坐标，再求三角形的三边长；
（2）求得函数y=-

3

4

x+b与x、y轴的交点坐标，再求三角形的三边长，把三边的长加起来等于16，解方程求解即可．

解答：解：（1）∵直线y=-

3

4

x+3与x轴的交点坐标为（4，0），与y轴交点坐标为（0，3），
∴函数y=-

3

4

x+3的坐标三角形的三条边长分别为3，4，5．

（2）直线y=-

3

4

x+b与x轴的交点坐标为（

4

3

b，0），与y轴交点坐标为（0，b），
AB=

AO2+BO2

=

b2+( 4 3 b)2

=

5

3

b，
当b＞0时，b+

4

3

b+

5

3

b=16，得b=4，
此时，S_△AOB=

OA•OB

2

=

4 3 ×4×4

2

=

32

3

，
∴坐标三角形面积为

32

3

；
当b＜0时，-b-

4

3

b-

5

3

b=16，得b=-4，
此时，S_△AOB=

OA•OB

2

=|

4 3 ×(-4)×(-4)

2

|=

32

3

，
∴坐标三角形面积为

32

3

．
综上，当函数y=-

3

4

x+b的坐标三角形周长为16时，面积为

32

3

．

点评：本题考查了一次函数和几何问题的综合应用，本题中根据一次函数和坐标轴的交点坐标，求坐标三角形的三边长是解题的基础．