Question

已知矩形的对角线长为

10

，而它的两邻边a、b的长满足m²+a²m-12a=0，m²+b²m-12b=0（m≠0），则矩形的周长为

 

．

Answer 1

分析：根据m²+a²m-12a=0，m²+b²m-12b=0（m≠0），可以得到：a、b恰为方程mx²-12x+m²=0的两根，则可以求得a与b的和与积．已知对角线长为

10

，即可知道a、b的平方和，即可得到一个关于m的方程，从而求解．

解答：解：将已知二式重新整理得

ma2-12a+m2=0 mb2-12b+m2=0

，
由方程的定义可知a，由韦达定理得
a+b=

12

m

…①
ab=m…②
又a²+b²=10，即（a+b）²-2ab=10…③．
将①②代入③得(

12

m

)2-2m=10?m³+5m²-72=0?（m-3）（m²+8m+24）=0?m=3，
故矩形的周长为2（a+b）=

24

m

=8．

点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确理解a、b恰为方程mx²-12x+m²=0的两根是解题的关键．