题目内容
如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB>1，以A 为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x。
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；
（3）探究：△ABC的最大面积？
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；
（3）探究：△ABC的最大面积？
| 解：（1）在△ABC中，∵AC=1，AB=x，BC=3-x， ∴  ，解得1<x<2； （2）①若AC为斜边，则1=x2+（3-x）2，即x2-3x+4=0，无解； ②若AB为斜边，则x2=（3-x）2+1，解得x=  ，满足1<x<2； ③若BC为斜边，则（3-x）2=1+x2，解得x=  ，满足1<x<2，∴x=  或x= ；（3）在△ABC中，作CD⊥AB于D，设CD=h，△ABC的面积为S，则S= xh，①如图甲所示，若点D在线段AB上， 则  ，∴（3-x）2-h2=x2-2x  +1-h2，即x =3x-4，∴x2（1-h2）=9x2-24x+16，即x2h2=-8x2+24x-16， ∴S2=  x2h2=-2x2+6x-4=-2 ，当x=  时（满足 ≤x<2），S2取最大值 ，从而S取最大值 ，②如图乙所示，若点D在线段MA上，则  ，同理可得，S2=  =-2x2+6x-4=-2（x- ）2+  ，易知此时S<  ，综合①②得，△ABC的最大面积为  。 |
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