Question

已知：如图，矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且OA=2OC，直线y=x+b过点C，并且交对角线OB于点E，交x轴于点D，反比例函数y=

a

x

过点E且交AB于点M，交BC于点N，连接MN、OM、ON，若△OMN的面积是

80

9

，则a、b的值分别为（　　）

• A、a=2，b=3
• B、a=3，b=2
• C、a=-2，b=3
• D、a=-3，b=2

Answer 1

考点：反比例函数综合题,反比例函数系数k的几何意义,矩形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：过点E作EH⊥AO，垂足为H，易得OC=OD=b，运用相似三角形的性质将点E的坐标用a的代数式表示，然后把点E的坐标代入反比例函数的解析式，就可得到a与b的一个等量关系，然后由△OMN的面积就可得到a与b的又一个等量关系，就可求出a、b的值．

解答：解：过点E作EH⊥AO，垂足为H，如图，
∵直线y=x+b与y轴交于点C，交x轴于点D，
∴点C（0，b），点D（-b，0）．
∴OC=OD=b．
∵四边形OABC是矩形，OA=2OC，
∴BC=OA=2b，AB=OC=b，BC∥OA．
∴△BEC∽△OED．
∴

CE

DE

=

BC

OD

=2．
∴

DC

DE

=3．
∵EH⊥OA，∠COA=90°，
∴∠EHA=∠COA=90°．
∴EH∥OC．
∴△DOC∽△DHE．
∴

OC

EH

=

OD

DH

=

DC

DE

=3．
∴EH=

b

3

，DH=

b

3

．
∴OH=OD-DH=b-

b

3

=

2b

3

．
∴点E的坐标为（-

2b

3

，

b

3

）．
∵点E在反比例函数y=

a

x

上，
∴-

2b

3

×

b

3

=a．
∴2b²=-9a．
∵反比例函数y=

a

x

图象交AB于点M，交BC于点N，
∴点M的坐标为（-2b，

a

-2b

），点N的坐标为（

a

b

，b）．
∴S_△BMN=

1

2

BM•BN
=

1

2

（b-

a

-2b

）[2b-（-

a

b

）]
=

1

2

×

2b2+a

2b

×

2b2+a

b

=

(-9a+a)2

2(-9a)

=-

32

9

a．
∴S_△OMN=S_矩形OABC-S_△AMO-S_△OCN-S_△BMN
=2b²-（-

a

2

）-（-

a

2

）-（-

32

9

a）
=-9a+a+

32

9

a
=-

40

9

a=

80

9

．
解得：a=-2．
∴2b²=-9a=-9×（-2）=18．
∴b=±3．
∵b＞0，
∴b=3．
故选：C．

点评：本题考查了反比例函数比例系数的几何意义、相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识，而用坐标表示线段长度是本题的易错点，需注意．