Question

【题目】抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A，B，C，已知A（－1，0），B（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；

（3）如图2，在（2）的条件下，延长DP交x轴于点F，M（m，0）是x轴上一动点，N 是线段DF上一点，当△BDC的面积最大时，若∠MNC＝90°，请直接写出实数m的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y＝－x2＋2 x＋3；

（2）点P的坐标（， ）；

（3）实数m的取值范围是0≤m≤

【解析】解：（1）由题意得： ，解得： ，

∴抛物线解析式为y＝－x2＋2 x＋3．

（2）在y＝－x2＋2 x＋3中，当x＝0，y＝3，即C（0，3），

设直线BC的解析式为y＝kx＋b＇，则 解得

∴直线BC的解析式为y＝－x＋3．

设P（x，3－x），则D（x，－x2＋2 x＋3）

∴S△BDC ＝S△PDC ＋S△PDB＝PD·x＋PD·（3－x）

＝ PD×3＝（－x2＋3 x）

＝（x）2＋．

∴当x＝时，△BDC的面积最大，

此时P（， ）

（3）0≤m≤

提示：将x＝代入y＝－x2＋2 x＋3，得

y＝，∴点D的坐标为（， ），

过C点作CG⊥DF，则CG＝．

点N在DG上时，点N与点D重合时，

点M的横坐标最大．

∵∠ MNC＝90°，∴，

∵C（0，3），D（， ），M（m，0），

∴ ，

解得m＝．即点M的坐标为（，0），即m的最大值为；

点N在线段GF上时，设GN＝x，则NF＝3－x，易证：Rt△NCG∽Rt△MNF，

∴，即，整理得，

MF＝＝，∴当x＝时（N与P重合），MF有最大值，

此时，M与O重合，∴M的坐标为（0，0），∴m的最小值为0，

故实数m的取值范围为0≤m≤．