Question

如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，则四边形ABCD的面积为

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：以AD为边作正△ADE，根据等边三角形的性质可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，再求出∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BD，然后求出∠CDE=90°，再利用勾股定理列式求出CD=4，过点A作AF⊥CD于F，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AF=

1

2

AD，利用勾股定理列式求DF，再求出CF，然后利用勾股定理列式求出AC²，然后根据S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD列式计算即可得解．

解答：解：如图，以AD为边作正△ADE，
∵△ABC也是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，
∠CAE=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE=BD=5，
∵∠CDE=∠ADE+∠ADC=60°+30°=90°，
∴CD=

CE2-DE2

=

52-32

=4，
过点A作AF⊥CD于F，∵∠ADC=30°，
∴AF=

1

2

AD=

3

2

，
由勾股定理得，DF=

32-( 3 2 )2

=

3 3

2

，
∴CF=CD-DF=4-

3 3

2

，
在Rt△ACF中，AC²=AF²+CF²=（

3

2

）²+（4-

3 3

2

）²=25-12

3

，
所以S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD
=

1

2

×

3

2

×（25-12

3

）+

1

2

×4×

3

2

=

25 3

4

-9+3
=

25 3 -24

4

．
故答案为：

25 3 -24

4

．

点评：本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，难点在于作辅助线构造出等边三角形和全等三角形．