Question

7．如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（0，8）、（6，0），以AC为直径作⊙O，交坐标轴于点B，点D是⊙O 上一点，且弧BD=弧AD，过点D作DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）求线段CE的长．

Answer 1

分析 （1）根据四边形ABCD是⊙O内接四边形，可得∠DCE=∠BAD，根据弧BD=弧AD，可得∠BAD=∠ACD，等量代换得到∠DCE=∠ACD，从而求解；
（2）直线ED与⊙O相切．连接OD．根据圆的性质和等边对等角可得∠ODC=∠OCD，等量代换得到∠DCE=∠ODC，根据平行线的判定和性质得到∠ODE=∠DEC，再根据垂直的定义和性质可得OD⊥DE，根据切线的判定即可求解；                                        
（3）延长DO交AB于点H．根据三角形中位线定理可得HO=$\frac{1}{2}$BC=3，根据勾股定理可得OD，得到HD，再根据矩形的判定和性质得到BE=HD=8，从而得到CE的长．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
又∵∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠BAD，
∵弧BD=弧AD，
∴∠BAD=∠ACD，
∴∠DCE=∠ACD，
∴CD平分∠ACE．                             
（2）直线ED与⊙O相切．
连接OD．
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
又∵∠DCE=∠ACD，
∴∠DCE=∠ODC，
∵OD∥BE，
∴∠ODE=∠DEC，
又∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
∴∠ODE=90°
∴OD⊥DE，
∴ED与⊙O相切．                                         
（3）延长DO交AB于点H．
∵OD∥BE，O是AC的中点，
∴H是AB的中点，
∴HO是△ABC的中位线，
∴HO=$\frac{1}{2}$BC=3，
又∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
又∵O是AC的中点
∴OD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=5，
∴HD=3+5=8，
∵∠ABC=∠DEC=∠ODE=90°，
∴四边形BEDH是矩形，
∴BE=HD=8，
∴CE=8-6=2．

点评 考查了圆的综合题，涉及的知识点有：内接四边形的性质，等弧对等角，圆的性质和等边对等角，平行线的判定和性质，垂直的定义和性质，切线的判定，三角形中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质．综合性较强，有一定的难度．