Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是角平分线，DE⊥AB于E．
（1）请你在图中找出两对相等的线段（填在下列横线上），并说明它们为什么相等；
（2）若DE=1.5cm，求AC的长．
（1）①________=________；②________=________．

Answer 1

（1）①解：AD=BD，DE=DC，
理由是：
在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则∠B=60°．
∵BD是角平分线，
∴∠ABD=∠B=30°，
∴∠A=∠ABD，
∴AD=BD
故答案为：AD，BD．

②解：∵BD是角平分线，DC⊥BC，DE⊥AB，
∴DE=DC，
故答案为：DE．DC．

（2）解：由②知DC=DE=1.5，
在Rt△AED中，∵∠A=30°，
∴AD=2DE=3．
∴AC=AD+DC=3+1.5=4.5（cm），
答：AC的长是4.5cm．
分析：（1）①根据三角形的内角和定理求出∠B，求出∠ABD，根据等腰三角形的判定即可求出答案；②根据三角形的角平分线性质求出即可；
（2）根据（1）求出CD的长，根据直角三角形的性质求出AD，即可求出AC．
点评：本题主要考查对角平分线性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．