题目内容

如图，四边形ABCD是直角梯形，AB=8，CD=6，高AD=4，点P从点B出发向点A运动，过点P作PQ∥BC交射线AD于点Q，当点P与点A重合时，点Q停止运动．设BP=x，AQ=y．
（1）求线段BC的长；
（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点P，使△CPQ为直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）过点C作CE⊥AB，BE=2，CE=4，
在Rt△BCE中，BC=2 $\text{[math]}$ ；

（2）∵PQ∥CB，
∴∠QPA=∠B，
∵∠QAP=∠CEB=90°，
∴△APQ∽△EBC，
∴ $\text{[math]}$
y=16-2x；

（3）①当∠QCP=90°时，如图1，
可证△QCD∽△PCE， $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
解得x= $\text{[math]}$ ；
②当∠CQP=90°时，如图2，可证△CDQ∽△QAP，

∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
解得x₁=7.5，x₂=8（增根，舍去）；
③当∠CPQ=90°时，如图1，
∵PQ∥BC，所以∠PCB=90°，可证△PCE∽△BCE，
∴ $\text{[math]}$ ，即（2 $\text{[math]}$ ）²=2x，
x=10＞8，舍去．
综上，当x= $\text{[math]}$ 或x=7.5时，△QCP是直角三角形．
分析：（1）过点C作CE⊥AB，根据勾股定理即可求出BC的长；
（2）先根据平行线的性质求出△APQ∽△EBC，再由相似三角形的对应边成比例即可解答；
（3）先根据题意画出图形，由于不明确直角三角形中哪个角是直角，故应分三种情况讨论，分别根据相似三角形的性质解答即可．
点评：此题比较复杂，解答此题的关键是作出辅助线，构造出相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例解答．在解答（3）时要分类讨论，不要漏解．