Question

【题目】已知：在中，，在中，，连接，取的中点，连接和．

（1）若点在边上，点在边上且与点不重合，如图1，探索的关系并给予证明；

（2）如果将图1中的绕点逆时针旋转小于的角，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．

Answer 1

【答案】（1），，见解析；（2）（1）中的结论仍成立，见解析

【解析】

（1）要求BM和DM的关系，可从角的度数入手，由题意，BM是直角三角形CBE斜边上的中线，因此BM=CM，∠MCB=∠MBC，∠BME=2∠MCB，同理可得出∠DME=2∠DCM，根据三角形ABC是个等腰直角三角形，那么∠DCM+∠BCE=45°，因此∠BME+∠DME=2（∠DCM+∠BCM）=90°，由此我们可得出∠BMD=90°，那么BM和DM是互相垂直的；

（2）可通过构建三角形来求解，连接CD和EF，连接BD，延长DM至点F，使得DM=MF，连接BF、FC，延长ED交AC于点H，先证明三角形ADB和CFB全等后，再证明三角形DBF是等腰三角形，即可得出BM⊥DM．

解：（1），，

在中，是斜边的中点，

∴，

∴．

在中，是斜边的中点，

∴．

∴．

∴，，

∵，

∴，即．

（2）：（1）中的结论仍成立，

延长至点，使得，连接和，连接，连接，延长交于点．

∵，，

∴四边形是平行四边形，

∴，，

∵，

∵

∵，

∴．

∵，，

∴．

又∵，

∴≌，

∴，，

∵，

∴．

在中，由，，得且．