题目内容

如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB=90°，点P是 $数学公式$ 上的一个动点（不与点A、B重合），PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为点C、D，点E、F、G、H分别是线段OD、PD、PC、OC的中点，EF与DG相交于点M，HG与EC相交于点N，联结MN．如果设OC=x，MN=y，那么y关于x的函数解析式及函数定义域为________．

y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ （o＜x＜1）
分析：建立平面直角坐标系，连接OP交MN于R，交MG于Z，交CE于Q，根据三角形中位线求出EF∥OP∥GH，求出DM=MZ=ZG，EQ=QN=CN，求出E的坐标，即可求出M、N的坐标，根据勾股定理求出MN，即可得出答案．
解答：

如图，建立平面直角坐标系，连接OP交MN于R，交MG于Z，交CE于Q，
∵点E、F、G、H分别是线段OD、PD、PC、OC的中点，
∴EF∥OP，GH∥OP，
∴DM=MZ，GZ=MZ，
∴DM=MZ=ZG，
同理EQ=QN=CN，
在Rt△OPC中，OC=x，OP=1，由勾股定理得：OD=CP= $\text{[math]}$ ，
∴E的坐标是（0， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ），
∵CN=NQ=EQ，OC=x，
∴N的横坐标是 $\text{[math]}$ OC= $\text{[math]}$ x，N的纵坐标是 $\text{[math]}$ OE= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，M的横坐标是x- $\text{[math]}$ x= $\text{[math]}$ x，纵坐标是OE- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
即N（ $\text{[math]}$ x， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ），M（ $\text{[math]}$ x， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ），
由勾股定理得：MN=（ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ x）²+[ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）²，
即y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ ，x的范围是：O＜x＜1．
故答案为：y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ （0＜x＜1）．
点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度．