Question

观察下列等式：
1×2×3×4+1=25=5²；
2×3×4×5+1=121=11²；
3×4×5×6+1=361=19²；
4×5×6×7+1=841=29²；
（1）找出上面四个算式的规律，并用文字语言表述出来；
（2）你能猜想出怎样一个普遍性的结论？
（3）试证明你的猜想的正确性．

Answer 1

分析：（1）等式的左边是连续四个正整数的乘积，再加上1，得数是这四个自然数两端数的乘积加1的平方；
（2）利用前面的算式的规律，用自然数n表示出来即可；
（3）利用整式的乘法展开即可．

解答：解：（1）四个正整数的乘积与1的和是一个完全平方数（四个自然数两端数的乘积加1的平方）；
（2）n（n+1）（n+2）（n+3）+1=[n（n+3）+1]²=（n²+3n+1）²；
（3）左面=n（n+1）（n+2）（n+3）+1
=（n+1）（n+2）n（n+3）+1
=（n²+3n+2）（n²+3n）+1
=（n²+3n）²+2（n²+3n）+1
=（n²+3n+1）²=右边．

点评：此题考查算式的规律，注意算式之间的联系，利用特殊推出一般性的结论，再加以证明结论的成立，是数学中常用的方法．