Question

如图，△ABC内接与⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于AC点E，交PC于点F，连接AF．

（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；

（2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AE的长．（2013舟山卷改编）

Answer 1

（1）AF为圆O的切线，理由为：

        连接OC，

        ∵PC为圆O切线，

        ∴CP⊥OC，

        ∴∠OCP=90°，

        ∵OF∥BC，

        ∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB，      2分

        ∵OC=OB，

        ∴∠OCB=∠B，

        ∴∠AOF=∠COF，

        由△AOF≌△COF得，      

        ∴∠OAF=∠OCF=90°，

        则AF为圆O的切线；            4分

         

        （2）∵△AOF≌△COF，

        ∴∠AOF=∠COF，

        ∵OA=OC，

        ∴E为AC中点，即AE=CE=AC，OE⊥AC，

        ∵OA⊥AF，            6分

        ∴在Rt△AOF中，OA=4，AF=3，

        根据勾股定理得：OF=5，

        ∵S_△AOF=•OA•AF=•OF•AE，

        ∴AE=，     8分