Question

已知a、c为实数，直线y₁=（a+1）x-1，抛物线y₂=x²+ax+c．
（Ⅰ）在直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，若c=2，，求抛物线的解析式；
（Ⅱ）若c＞0，证明在实数范围内，对于x的同一个值，直线与抛物线对应的y₁＜y₂均成立；
（Ⅲ）若a=-1，当-1＜x＜4时，抛物线与x轴有公共点，求c的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵抛物线与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，若c=2，，
∴tan∠ABO==，
∴A（-1，0），
代入解析式y₂=x²+ax+c，
∴0=1-a+2，
∴a=3，
∴y₂=x²+3x+2；
（Ⅱ）∵c＞0，
∴y₂-y₁=x²+ax+c-[（a+1）x-1]，
=（x-）²++c，
y₂-y₁＞0，
∴在实数范围内，对于x的同一个值，直线与抛物线对应的y₁＜y₂均成立；

（Ⅲ）当a=-1时，抛物线为y₂=x²-x+c，且与x轴有公共点．
对于方程x²-x+c=0，判别式△=1-4c≥0，有c≤．
①当 c=时，由方程x²-x+=0，解得x₁=x₂=．
此时抛物线与x轴只有一个公共点（，0）；
②当 c＜时，x₁=-1时，y₁=2+c；
x₂=4时，y₂=12+c．
由已知-1＜x＜4时，该抛物线与x轴有公共点，考虑其对称轴为 x=，
应有 即
解得-12＜c≤-2．
综上，c= 或-12＜c≤-2．
分析：（Ⅰ）根据tan∠ABO==的值代入可得抛物线的解析式；
（Ⅱ）根据y₂-y₁=x²+ax+c-[（a+1）x-1]，直接化简配方即可得出答案；
（Ⅲ）把a代入解析式可得△=1-4c≥0，等于0时可直接求得c的值；求出y的相应的值后可得c的取值范围．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及图象与坐标轴有交点的条件，根据不等式的性质以及判别式得出c的取值范围是解决问题的关键．