Question

如图，已知：直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=x²+bx+c经过A、B两点.

（1）求抛物线的解析式;
（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线y=-x+3上有一点P，使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意得，A（3，0），B（0，3）
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3；
（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形
若△ABO∽△AP₁D，则

∴DP₁=AD=4
∴P₁（-1，4）
若△ABO∽△ADP₂ ，过点P₂作P₂ M⊥x轴于M，AD=4

∵△ABO为等腰三角形
∴△ADP₂是等腰三角形，由三线合一可得：DM="AM=2=" P₂M，即点M与点C重合
∴P₂（1，2）；
（3）如图设点E（x,y） ，则
①当P₁(-1,4)时，

∴2|y|=4+|y|
∴|y|=4
∵点E在x轴下方
∴y=-4
代入得x²-4x+3=-4,即x²-4x+7=0
∵△=(-4)2-4×7=-12<0
∴此方程无解；
②当P₂（1，2）时，S四边形AP₂CE=S三角形ACP₂+S三角形ACE =2+|y|
∴2|y|=2+|y|
∴|y|=2
∵点E在x轴下方
∴y=-2
代入得：x²-4x+3=-2
即x²-4x+5=0，
∵△=(-4)²-4×5=-4<0
∴此方程无解
综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E.

（1）先求得直线y=-x+3与坐标轴的交点坐标，再根据待定系数法即可求得结果；
（2）由题意可得△ABO为等腰三角形，再分△ABO∽△AP₁D，△ABO∽△ADP₂ 两种情况，根据等腰三角形的性质及相似三角形的性质求解即可；
（3）如图设点E（x,y），则，分①当P₁(-1,4)时，②当P₂（1，2）时，根据三角形的面积公式及函数图象上的点的坐标的特征。

考点：二次函数的综合题
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．