Question

如图，在△PBC中，∠PCB=90゜，DA⊥PB于A点，连AC，BD相交于E点．
求证：
（1）△PAD∽△PCB；
（2）∠PCA=∠PBD；
（3）△ADE∽△BCE．

Answer 1

分析：（1）利用垂直的定义以及两角对应相等两三角形相似即可得出；
（2）利用△PAD∽△PCB，得出

PA

CP

=

PD

AB

，进而利用两边对应比值相等，且夹角相等两三角形相似进而得出即可；
（3）利用（2）中所证得出∠ADB=∠ECB，进而得出相似．

解答：证明：（1）∵∠PCB=90゜，DA⊥PB，
∴∠PAD=∠PCB，
又∵∠P=∠P，
∴△PAD∽△PCB；

（2）∵△PAD∽△PCB，
∴

PA

CP

=

PD

AB

，
∵∠P=∠P，
∴△CPA∽△BPD，
∴∠PCA=∠PBD；

（3）∵∠ADB+∠ABD=90°，∠PCA+∠ACB=90°，
∠PCA=∠PBD；
∴∠ADB=∠ECB，
又∵∠DEA=∠CEB，
∴△ADE∽△BCE．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．