Question

10．已知：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-2，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（-6，0），C（0，-4）．
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．
（3）在第（2）问的基础上，若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得PB=PA，根据两点间线段最短，可得CA与对称轴的交点P，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据相似三角形的判定与性质，可得OE=6-$\frac{3}{2}$m，根据图形分割法，可得二次函数解析式，根据二次函数的性质，可得答案．

解答 解：（1）1）将A、C点坐标代入函数解析式、对称轴的坐标公式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=-2}\\{36a-6b+c=0}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
解得a$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\\{c=-4}\end{array}\right.$
∴此抛物线的解析式为y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x-4
（2）连结AC、BC．因为BC的长度一定，所以△PBC周长最小，就是使PC+PB最小．
B点关于对称轴的对称点是A点，AC与对称轴x=-2的交点即为所求的点P．
设直线AC的表达式为y=kx+b
则$\left\{\begin{array}{l}-6k+b=0\\ b=-4\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{2}{3}\\ b=-4\end{array}\right.$
∴此直线的表达式为y=-$\frac{2}{3}$x-4
把x=-2代入得y=-$\frac{8}{3}$
∴P点的坐标为（-2，-$\frac{8}{3}$）
（3）S存在最大值，
∵DE∥PC  即DE∥AC
∴△OED∽△OAC
∴$\frac{OD}{OC}=\frac{OE}{OA}$即$\frac{4-m}{4}$=$\frac{OE}{6}$
∴OE=6-$\frac{3}{2}$m，AE=6-OE=$\frac{3}{2}$m
连结OP，
S=S_△OAC-S_△OED-S_△AEP-S_△PCD
=$\frac{1}{2}$×6×4-$\frac{1}{2}$×（6-$\frac{3}{2}$m）×（4-m）-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$m×$\frac{8}{3}$-$\frac{1}{2}$×m×2
=-$\frac{3}{4}$m²+3m=$-\frac{3}{4}{（m-2）^2}+3$
∵-$\frac{3}{4}$＜0
∴当m=2时，S_最大=3

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数求函数解析式，利用线段的性质得出P点的位置，利用相似三角形的判定与性质得出OE=6-$\frac{3}{2}$m，利用图形割补法得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．