Question

12．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，以AB为直径作⊙O，恰与一边CD相切于点E，连接OD、OC．若四边形ABCD的面积是48，设OD=x，OC=y，且x+y=14；
（1）求证：∠DOC=90°；
（2）求CD的长．

Answer 1

分析 （1）由切线的性质可知OE⊥DC，由HL可判定△OEC≌△OBC，从而可得到∠BCO=∠ECO，同理可证明∠ADO=∠EDO，从而可证明∠ODC+∠OCD=90°，由三角形的内角和定理可知∠DOC=90°；
（2）S_梯形ABCD=2S_△COD，求出xy=48，结合x+y=14可求得x²+y²=100，从而得到CD=10．

解答 解：（1）如图所示：连接OE．

∵DC是圆O的切线，
∴OE⊥DC．
在Rt△OEC和Rt△OBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OB}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△OEC≌Rt△OBC．
∴∠BCO=∠ECO．
∴∠OCD=$\frac{1}{2}∠BCD$．
同理：∠EDO=$\frac{1}{2}∠ADC$．
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠DCB=180°．
∴∠OCD+∠EDO=$\frac{1}{2}$×180°=90°．
∴∠DOC=90°．
（2）∵S_△DEO=S_△DAO，S_△OCE=S_△COB，
∴S_梯形ABCD=2（S_△DOE+S_△COE）=2S_△COD=OC•OD=48，即xy=48．
又∵x+y=1
∴x²+y²=（x+y）²-2xy=14²-2×48=100，
在Rt△COD中，CD=$\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}$=10，
∴CD=10．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和全等三角形的判定与性质，根据题意求得x²+y²=100是解题的关键．