Question

【题目】如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，连接、，已知点A、C的坐标为、．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P是线段下方抛物线上的一动点，如果在x轴上存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，求点Q的坐标；

（3）如图2，若点M是内一动点，且满足，过点M作，垂足为N，设的内心为I，试求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）Q的坐标为或；（3）的最小值为

【解析】

（1）待定系数法求解析式；

（2）根据即点C坐标，可以求出P点坐标，算出CP长，即可写出Q点坐标;

（3）利用可判断出I的运动轨迹是圆弧，设I运动轨迹所在的圆心为G

计算出圆心G的坐标及半径为，当G、I、C三点共线时候最短.

（1）由题意得：A点坐标为，C点坐标为带入中

得：，

解得：

∴抛物线的解析式为．

（2）∵点Q在x轴上，又点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形

∴，由对称性可知，P点的坐标为

∴，∴．

∴Q的坐标为或．

（3）连接，，

∵I为的内心

∴、分别平分，

∴

又∵，∴

∴．

又∵，

∴

∴

∴I的运动轨迹是圆弧．

设I运动轨迹所在的圆心为G

∵，∴

又∵，

∴圆心G的坐标为，半径为

当G、I、C三点共线时候最短

∵，

∴的最小值为

综上所述：的最小值为．