Question

2．如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，-3）．
（1）则抛物线的解析式是y=-x²+4x-3顶点坐标是（2，1）；
（2）平移抛物线，使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上，且过原点O，求平移后抛物线的解析式；
（3）若原抛物线的顶点在射线y=0.5x（x＞0）上滑动，且过点（0，-14），应该怎样平移原抛物线？

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法列出方程组即可解决问题，再利用配方法求出顶点坐标即可．
（2）设平移后的抛物线顶点为（m，0.5m），则抛物线为y=-（x-m）²+0.5m，把（0，-14）代入求出m的值即可解决问题．

解答 解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
故抛物线解析式为y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，
故顶点坐标（2，1）．
故答案为y=-x²+4x-3，（2，1）．
（2）由题意顶点（0，0），抛物线解析式为y=-x²．
（3）设平移后的抛物线顶点为（m，0.5m），则抛物线为y=-（x-m）²+0.5m，
把（0，-14）代入得到2m²-m-28=0，解得m=4或-$\frac{7}{2}$，
m=4时抛物线为y=-（x-4）²+2，顶点为（4，2），
m=-$\frac{7}{2}$时，抛物线为y=-（x+$\frac{7}{2}$）²-$\frac{7}{4}$，顶点为（-$\frac{7}{2}$，-$\frac{7}{4}$）．
故原抛物线向右平移2个单位再向上平移1个单位得到，或原抛物线向左平移$\frac{11}{2}$个单位再向下平移$\frac{11}{4}$个单位得到．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、平移问题、一次函数等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，学会设参数解决问题，记住平移坐标的变化规律，属于中考常考题型．