Question

已知抛物线交y轴于点A，交x轴于点B,C（点B在点C的右侧）。如图，过点A作垂直于y轴的直线l. 在y轴右侧、位于直线l下方的抛物线上任取一点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q，交x轴于R，连接AP.

（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）如果以A，P，Q三点构成的三角形与△AOC相似，求出点P的坐标；
（3）若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M. 是否存在点P，使得点M落在x轴上.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）A(0，4)，B(4，0)，C(-1，0)；（2），；（3） 

试题分析：（1）分别求得抛物线与坐标轴的交点坐标即可得到结果；
（2）设，则，，分与两种情况分析即可得到结果；
（3）构造正方形PQEF，ME=OA=4，AM=AQ=x，则PM=，证得～，根据相似三角形的性质可表示出PF，从而可以表示出CM，在中，根据勾股定理即可列方程求得结果.
（1）在中，
当时，；
当时，，解得
∴A(0，4)，B(4，0)，C(-1，0)；
（2）设，则，
当时，得，解得，此时 
当时，得 ，解得，此时；
（3）如图构造正方形PQEF，ME=OA=4，AM=AQ=x

PM=，
证得～   
有，即，解得   
∴     
在中，



∴.
点评：本题知识点多，综合性强，难度较大，一般是中考压轴题，主要考查学生对二次函数的熟练掌握情况.