Question

11．已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0），B（4，0），C（0，-2）三点．
（1）请直接写出抛物线的解析式．
（2）连接BC，将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线交于点D，求点D的坐标．
（3）在（2）中的线段AD上有一动点E（不与点A、点D重合），过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△AFD的面积最大？求出此时点E的坐标和△AFD的最大面积．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法直接求出抛物线解析式；
（2）先确定出直线BC解析式，再确定出AD解析式，和抛物线解析式联立求出点D坐标；
（3）先判断出平行于直线AD并且和抛物线只有一个交点时的点F是三角形ADF面积最大，设出直线解析式，代入抛物线解析式中用判别式求出n即得出直线l解析式，从而求出点E，F坐标，用面积和求出即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0），B（4，0），
∴设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4），
∵C（0，-2）在抛物线上，
∴-2=a×1×（-4），
∴a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2①，
（2）设直线BC解析式为y=kx-2，
∵B（4，0）
∴4k-2=0，
∴k=$\frac{1}{2}$，
∴直线BC解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，
∵直线BC平移，使其经过点A（-1，0），且与抛物线交于点D，
∴直线AD解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$②，
联立①②解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴D（5，3），
（3）∵A（-1，0），D（5，3），
∴以AD为底，点F到AD的距离越大，三角形ADF面积越大，
作l∥AD，当l与抛物线只有一个交点时，点F到AD的距离最大，
设l的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+n③，
联立①③转化为关于x的方程为：x²-4x-2n-4=0，
∴△=16-4（-2n-4）=0，
∴n=-4，
∴直线l的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-4，
∴x²-4x+4=0，
∴x=2，
将x=2代入y=$\frac{1}{2}$x-4得，y=-3，
∴F（2，-3），
∴E（2，$\frac{3}{2}$），
∴EF=$\frac{9}{2}$，
∴S_{△AFD的最大面积}$\frac{1}{2}$EF×|x_E-x_A|+$\frac{1}{2}$EF×|x_D-x_E|
=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$×3+$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$×3
=$\frac{27}{2}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，函数图象的交点坐标，一元二次方程的判别式，面积公式，解本题的关键是求出直线AD解析式．