Question

（2012•河东区二模）如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上（不与A、D重合），MN为折痕，折叠后B′C′与DN交于P，则四边形MNC′B′面积最小值为

3

8

．

Answer 1

分析：先证明△MQB∽△B′AB，再利用相似三角形的性质得出C'N的长，再表示出求出梯形MNC′B′面积，进而求出最小值．

解答：解：如图，过N作NR⊥AB与R，
则RN=BC=1，
连BB′，交MN于Q．则由折叠知，
△MBQ与△MB′Q关于直线MN对称，即△MBQ≌△MB′Q，
有BQ=B′Q，MB=MB′，MQ⊥BB′．
∵∠A=∠MQB，∠ABQ=∠ABB′，
∴△MQB∽△B′AB，
∴

AB′

MQ

=

AB

BQ

=

BB′

MB

．
设AB′=x，则BB′=

1+x2

，BQ=

1

2

1+x2

，代入上式得：
BM=B'M=

1

2

（1+x2）．
∵∠MNR+∠BMQ=90°，∠ABB′+∠BMQ=90°，
∴∠MNR=∠ABB′，
在Rt△MRN和Rt△B′AB中，
∵

∠MNR=∠ABB′ RN=AB ∠A=∠NRM=90°

，
∴Rt△MRN≌Rt△B′AB（ASA），
∴MR=AB′=x．
故C'N=CN=BR=MB-MR=

1

2

（1+x2）-x=

1

2

（x-1）²．
∴S_{梯形MNC′B′}=

1

2

[

1

2

（x-1）²+

1

2

（x²+1）]×1=

1

2

（x²-x+1）=

1

2

（x-

1

2

）²+

3

8

，
得当x=

1

2

时，梯形面积最小，其最小值

3

8

．
故答案为：

3

8

．

点评：本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、全等三角形的判定和性质及翻转变换，是一道综合题，有一定的难度，这要求学生要熟练掌握各部分知识，才能顺利解答这类题目．