Question

如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E．
（1）①求证：△ABE∽△ADB；
②若AE=2，ED=4，求⊙O的面积；
（2）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，若AC∥FD，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）①∵⊙O的弦AB=AC，∴弧AB=弧AC，
∴∠ABE=∠ADB，
又∵∠BAE=∠DAB，∴△ABE∽△ADB；
②∵△ABE∽△ADB，
∴，可得AB²=AD×AE
∵AE=2，ED=4，
∴AB²=AD×AE=6×2=12，可得AB=2，
∵BD为⊙O的直径，
∴Rt△ABD中，BD==4
所以⊙O的半径为R=2，可得⊙O的面积为：S=πR²=12π（平方单位）
（2）直线FA与⊙O相切
证明如下：连接AO

∵AC∥FD，∴∠C=∠CBD
∴弧AC=弧CD，
∵弧AB=弧AC，得弧AC=弧BAD
∴∠AOB=×180°=60°，
可得△ABO是等边三角形．
∴△ABF中，∠FBA=180°-∠ABO=120°
∵BF=BO=AB=BD
∴∠F=∠FBA=30°
因此可得∠FBA+∠BAO=30°+60°=90°
∴OA⊥FA，直线FA过半径OA的外端且与半径OA垂直，
∴直线FA与⊙O相切

解析