Question

【题目】在四边形ABCD中，BC＝CD，连接AC、BD，∠ADB＝90°．

（1）如图1，若AD＝BD＝BC，过点D作DF⊥AB于点F，交AC于点E：

①∠DAC＝　 °；

②求证：EC＝EA+ED；

（2）如图2，若AC＝BD，求∠DAC的度数．

Answer 1

【答案】（1）①15°；②见解析；（2）∠DAC＝30°．

【解析】

（1）①证明DA=DC，∠ADC＝150°，即可求得；②结论：EC=ED+EA.如图1中，设AC交BD于点O，连接BE，在EC上截取EH=EB，由△EBD≌△HBC（SAS），推出DE=CH，可得EC=EH+CH=EB+ED=EA+ED解决问题；

（2）如图2中，作CK⊥BD于K，CH⊥AD交AD的延长线于H，首先证明四边形DHCK是矩形，再证明CH=AC，即可解决问题；

（1）①如图1中，

∵AD=BD=BC，BC=CD，

∴BD=BC=CD，

∴△BDC是等边三角形，

∴∠CDB=60°，

∵∠ADB=90°，

∴∠ADC=90°+60°=150°，

∵DA=DC，

∴∠DAC=∠DCA=15°；

故答案为：15°；

②结论：EC＝ED+EA．如图1中，设AC交BD于点O，连接BE，在EC上截取EH＝EB．

∵DA＝DB，DF⊥AB，

∴AF＝FB，

∴EA＝EB，

∴∠DAF＝∠DBF，∠EAB＝∠EBA，

∴∠DAE＝∠DBE，

∵∠DAE＝∠DCO，

∴∠DCO＝∠OBE，

∵∠DOC＝∠EOB，

∴∠BEO＝∠ODC＝60°，

∵EH＝EB，

∴△EBH是等边三角形，

∴∠EBH＝∠DBC＝60°，BE＝BH，

∴∠EBD＝∠HBC，

∵BD＝BC，

∴△EBD≌△HBC（SAS），

∴DE＝CH，

∴EC＝EH+CH＝EB+ED＝EA+ED．

（2）如图2中，作CK⊥BD于K，CH⊥AD交AD的延长线于H．

∵∠H＝∠CKD＝∠HDK＝90°，

∴四边形DHCK是矩形，

∴DK＝CH，

∵CD＝CB．CK⊥BD，

∴DK＝BD，

∵AC＝BD，

∴CH＝AC，

在Rt△ACH中，sin∠CAD＝，

∴∠CAD＝30°．