Question

阅读材料：下图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，AB中点P的坐标为(x_p，y_p)．由x_p－x₁＝x₂－x_p，得，同理，所以AB的中点坐标为．

由勾股定理得AB²＝|x₂－x₁|²＋|y₂－y₁|²，所以A、B两点间的距离公式为．

注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立．

解答下列问题：

下图，直线l：y＝2x＋2与抛物线y＝2x²交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C．

(1)求A、B两点的坐标及C点的坐标；

(2)连结AC、BC，求证△ABC为直角三角形；

(3)将直线l平移到C点时得到直线，求两直线l与的距离．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由，解得，． 　　则A，B两点的坐标分别为：，，　2分 　　∵P是A，B的中点，由中点坐标公式得P点坐标为， 　　又PC⊥x轴交抛物线于C点，将代入y＝2x2中得， 　　∴C点坐标为．　4分 　　(2)由两点间距离公式得： 　　，， 　　∴PC＝PA＝PB，　6分 　　∴∠PAC＝∠PCA，∠PBC＝∠PCB， 　　∴∠PCA＋∠PCB＝90°，即∠ACB＝90° 　　∴△ABC为直角三角形．　8分 　　(3)过点C作CG⊥AB于G，过点A作AH⊥PC于H， 　　则H点的坐标为，　9分 　　∴， 　　∴． 　　又直线l与之间的距离等于点C到l的距离CG， 　　∴直线l与之间的距离为．　12分