Question

如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．

（1）若∠1=70°，求∠MKN的度数．

（2）△MNK的面积能否小于？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．

（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值及∠1的度数。

【解析】利用折叠的性质求解

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵ABCD是矩形，∴AM∥DN，

∴∠KNM=∠1．     ∵∠KMN=∠1，

∴∠KNM=∠KMN．  ∵∠1=70°，

∴∠KNM=∠KMN=70°．∴∠MKN=40°．   （2分）                     

（2）不能．                             （3分）

由折叠∠1=∠NMK,又DN∥AM, ∠MNK=∠1,于是∠MNK=∠NMK，所以KN=KM, △MNK的面积=KN=,所以KM最小值为1，即KM⊥AM,所以∠MNK=∠1=45°，此时△MNK的面积最小为，所以此三角形面积不能小于           （5分）

（3）△MNK的面积最大,只需KN最大，又KN=KM最大，于是可以有两种方法折叠，如图，

情形1，将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与点D     重合，设MK=MD=x,则AM=- x,由勾股定理，得

，

1+,所以

  Sin∠AMD=

∠AMD=45°, ∠1=67.5°                           （8分）

情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕为AC．

设MK=AK= CK=x，则DK=-x，同理可得

即MK=NK=

∴

Sin∠AKD=, ∠AKD=45°, ∠1=22.5°

∴△MNK的面积最大值为,∠1=67.5°或22.5°        （10分）