Question

已知，如图. 在 Rt△ABC 中∠C = 90°. ∠BAC的角平分线 AD 交BC边于D.    
(1)以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O (不写作法，保留作图痕迹)，再判断直线 BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若(1)中的⊙O与AB 边的另一个交点为E ,AB = 6 , BD = 2，求线段 BD、BE 与劣弧DE所围成的图形面积. (结果保留根号和π)

Answer 1

解：(1)如图.作AD 的垂直平分线交AB于点O，O为圆心.OA为半径作圆.
判断结果：BC是⊙O的切线.
连接 OD.
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAB.    
∵OA= OD，
∴∠ODA=∠DAB，
∴∠DAC = ∠ODA，
∴ OD // AC，
∴∠ODB= ∠C,
∵∠C= 90°，
∴∠ODB= 90°，
即：OD⊥BC，
∵OD是O的半径.
∴BC是⊙O的切线;

(2)如图.连接 DE.     
设⊙O的半径为 r. 则 OB=6-r，    
在Rt△ODB中，∠ODB= 90°，  
∴OB²=OD² +BD²，
即：(6-r)² = r²+(²    
∴r=2，
∴OB=4，
∴∠OBD=30°，∠DOB= 60°.
∵△ODB 的面积为扇形ODE的面积为
∴阴影部分的面积为