Question

如图，抛物线F：y=ax²+bx+c的顶点为P，抛物线F与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：y=a′x²+b′x+c′，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．
（1）当a=1，b=-2，c=3时，求点C的坐标（直接写出答案）；
（2）若a、b、c满足了b²=2ac
①求b：b′的值；
②探究四边形OABC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于抛物线F′由抛物线F平移所得，开口方向和开口大小都无变化，因此a=a′=1；由于两条抛物线都与y轴交于A点，那么c=c′=3．然后可根据抛物线F的坐标求出其顶点坐标，即可得出D点的坐标，然后将D的坐标代入抛物线F′中，即可求出抛物线F′的解析式，进而可求出C点的坐标．
（2）①与（1）的方法类似，在求出D的坐标后，将D的坐标代入抛物线F′中，即可得出关于b，b′的关系式即可得出b，b′的比例关系．
②探究四边形OABC的形状，无非是平行四边形，菱形，矩形这几种．那么首先要证的是四边形OABC是个平行四边形，已知了OA∥BC，只需看A，B的纵坐标是否相等，即OA是否与BC的长相等．根据抛物线F的解析式可求出P点的坐标，然后用待定系数法可求出OP所在直线的解析式．进而可求出抛物线F与直线OP的交点B的坐标，然后判断B的纵坐标是否与A点相同，如果相同，则四边形OABC是矩形（∠AOC=90°），如果B，A点的纵坐标不相等，那么四边形AOCB是个直角梯形．

解答：解：（1）C（3，0）；

（2）①抛物线y=ax²+bx+c，
令x=0，则y=c，
∴A点坐标（0，c）．
∵b²=2ac，
∴

4ac-b2

4a

=

4ac-2ac

4a

=

2ac

4a

=

c

2

，
∴点P的坐标为（-

b

2a

，

c

2

）．
∵PD⊥x轴于D，∴点D的坐标为（-

b

2a

，0）．
根据题意，得a=a′，c=c′，
∴抛物线F′的解析式为y=ax²+b'x+c．
又∵抛物线F′经过点D（-

b

2a

，0），
∴0=a×

b2

4a2

+b′(-

b

2a

)+c．
∴0=b²-2bb'+4ac．
又∵b²=2ac，
∴0=3b²-2bb'．
∴b：b′=2：3．
②由①得，抛物线F′为y=ax²+

3

2

bx+c．
令y=0，则ax²+

3

2

bx+c=0．
∴x₁=-

b

2a

，x₂=-

b

a

．
∵点D的横坐标为-

b

2a

∴点C的坐标为（-

b

a

，0）．
设直线OP的解析式为y=kx．
∵点P的坐标为（-

b

2a

，

c

2

），
∴

c

2

=-

b

2a

k，
∴k=-

ac

b

=-

2ac

2b

=-

b2

2b

=-

b

2

，
∴y=-

b

2

x．
∵点B是抛物线F与直线OP的交点，
∴ax²+bx+c=-

b

2

x．
∴x₁=-

b

2a

，x₂=-

b

a

．
∵点P的横坐标为-

b

2a

，
∴点B的横坐标为-

b

a

．
把x=-

b

a

代入y=-

b

2

x，
得y=-

b

2

（-

b

a

）=

b2

2a

=-

2ac

2a

=c．
∴点B的坐标为（-

b

a

，c）．
∴BC∥OA，AB∥OC．（或BC∥OA，BC=OA），
∴四边形OABC是平行四边形．
又∵∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数的性质、函数的平移变换、探究矩形的构成情况等重要知识点．