题目内容
【题目】问题：如图①，在直角三角形
中，
，
于点
，可知
（不需要证明）；
（1）探究：如图②，
，射线
在这个角的内部，点
、
在
的边
、
上，且
，
于点
，
于点．证明：
；
（2）证明：如图③，点、在的边、上，点
、在内部的射线
上，
、
分别是
、
的外角。已知，
．求证：
；
（3）应用：如图④，在
中，，
．点在边
上，
，点、在线段上，．若的面积为15，则
与
的面积之和为________．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）5.
【解析】
（1）利用AAS证明即可；
（2）利用AAS证明即可；
（3）先利用AAS证明△ABE≌△CAF，然后求△ABD的面积即可.
解：（1）∵
，
，
∴
∴∠DBA＋∠BAD=90°，∠BAD＋∠FAC=90°
∴∠DBA=∠FAC
在△ABD和△CAF中，
∴
；
（2）∵
，∠1＝∠EBA＋∠EAB，∠BAC=∠EAB＋∠FAC
∴∠BEA=180°－∠1=180°－∠2=∠AFC，∠EBA=∠FAC
在△ABE和△CAF中
∴
.
；
（3）∵，∠1＝∠EBA＋∠EAB，∠BAC=∠EAB＋∠FAC
∴∠BEA=180°－∠1=180°－∠2=∠AFC，∠EBA=∠FAC
在△ABE和△CAF中
∴
∴△ABE的面积＝△CAF的面积
∵
∴
∴
∴
.
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