题目内容
【题目】如图，已知抛物线
（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
【答案】（1）y=x+3，
；（2）M（﹣1，2）；（3）P（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，
） 或（﹣1，
）．
【解析】（1）依题意得：
，解得：
，∴抛物线解析式为．
∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得
，解得：
，∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；
（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2，∴M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；
（3）设P（﹣1，t），又∵B（﹣3，0），C（0，3），∴
=18，
=
=
，
=
=
；
①若点B为直角顶点，则
，即：
解之得：t=﹣2；
②若点C为直角顶点，则
，即：
，解之得：t=4；
③若点P为直角顶点，则
，即：
，解之得：
，
；
综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，） 或（﹣1，）．
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