题目内容
已知：如图，在△ABC中，∠A=45°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，且AD=DC，CO的延长线交⊙O于点E，过点E作弦EF⊥AB，垂足为点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AB=2，求EF的长．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AB=2，求EF的长．
（1）证明：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵AD=CD，
∴AB=BC，
∴∠A=∠ACB=45°，
∴∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）∵AB=2，
∴BO=1，
∵AB=BC=2，
∴CO=
=
，
∵EF⊥AB，BC⊥AB，
∴EF∥BC，
∴△EGO∽△CBO，
∴
=
，
∴
=
，
∴EG=
，
∴EF=2EG=
．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵AD=CD，
∴AB=BC，
∴∠A=∠ACB=45°，
∴∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）∵AB=2，
∴BO=1，
∵AB=BC=2，
∴CO=
| BO2+BC2 |
| 5 |
∵EF⊥AB，BC⊥AB，
∴EF∥BC，
∴△EGO∽△CBO，
∴
| EG |
| BC |
| EO |
| CO |
∴
| EG |
| 2 |
| 1 | ||
|
∴EG=
2
| ||
| 5 |
∴EF=2EG=
4
| ||
| 5 |
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