Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，0是坐标原点，点A坐标为(2， 0)，点B坐标为(0， b) (b>0)， 点P是直线AB上位于第二象限内的一个动点，过点P作PC垂直于x轴于点C，记点P关于y轴的对称点为Q.

(1)当b=1时:①求直线AB相应的函数表达式:②若，求点P的坐标:

(2)设点P的横坐标为a，是否同时存在a、b，使得是等腰直角三角形?若存在，求出所有满足条件的a、b的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）①；②P（）；（2）存在，a=-2，b=2；或a=，b=1．

【解析】

（1）①由题意确定出B坐标，设直线AB解析式为y=kx+b，把A与B坐标代入求出k与b的值，即可求出AB解析式；②由QO=QA以及OA的长，确定出Q横坐标，根据P与Q关于y轴对称，得出P横坐标，代入直线AB解析式求出纵坐标，即可确定出P坐标；
（2）同时存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形，分两种情况考虑：①若∠QAC=90°；②若∠AQC=90°，分别求出a与b的值即可．

解：（1）①当b=1时，B（0，1）

由A（2，0），B（0，1），
设直线AB解析式为，
把A与B坐标代入得：

，
解得：

则直线AB解析式为

②∵A（2，0），

∴ OA=2

∵QA=QO，OA=2，
∴Q点横坐标为xQ=1，
∵点P关于y轴的对称点为Q，
∴P点的横坐标为xP=-1，
代入直线AB解析式，

得，
则P坐标得P（）
（2）①若∠QAC=90°，如图1所示，

∴Q点的横坐标为xQ=2，
∴P点的横坐标为a=xP=-2，
∴AC=AQ=4，

∴Q（2，4）

即P（-2，4），

设直线AP的解析式为

将P（-2，4），A（2，0）代入得

解得
∴直线AP解析式为，
∴a=-2，b=2；
②如图2，若∠AQC=90°且QA=QC时，过点Q作QH⊥x轴于点H

∴QH=CH=AH=AC，
∴P点的横坐标为a，
∴Q点的横坐标为-a，
Q的横坐标 ，解得a= ，-a=
Q的纵坐标QH=AC==
∴Q（ ， ），P（ ， ）
设直线AP的解析式为

将P（ ， ），A（2，0）代入得

解得

∴直线AP解析式为，

∴b=1，
∴a=，b=1，
综上所示，∴a=-2，b=2；或a=，b=1．