题目内容

如图，已知A、B两点的坐标分别为A（0，2 $数学公式$ ），B（2，0），直线AB与反比例函数y= $数学公式$ 的图象交于点C和点D（-1，a）．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）求∠ACO的度数．

解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（0，2 $\text{[math]}$ ），B（2，0）代入得： $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
故直线AB解析式为y=- $\text{[math]}$ x+2 $\text{[math]}$ ，
将D（-1，a）代入直线AB解析式得：a= $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，
则D（-1，3 $\text{[math]}$ ），
将D坐标代入y= $\text{[math]}$ 中，得：m=-3 $\text{[math]}$ ，
则反比例解析式为y=- $\text{[math]}$ ；

（2）联立两函数解析式得： $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
则C坐标为（3，- $\text{[math]}$ ），
过点C作CH⊥x轴于点H，
在Rt△OHC中，CH= $\text{[math]}$ ，OH=3，
tan∠COH= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∠COH=30°，
在Rt△AOB中，tan∠ABO= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∠ABO=60°，
∠ACO=∠ABO-∠COH=30°．
分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将A与B坐标代入求出k与b的值，确定出直线AB的解析式，将D坐标代入直线AB解析式中求出a的值，确定出D的坐标，将D坐标代入反比例解析式中求出m的值，即可确定出反比例解析式；
（2）联立两函数解析式求出C坐标，过C作CH垂直于x轴，在直角三角形OCH中，由OH与HC的长求出tan∠COH的值，利用特殊角的三角函数值求出∠COH的度数，在三角形AOB中，由OA与OB的长求出tan∠ABO的值，进而求出∠ABO的度数，由∠ABO-∠COH即可求出∠ACO的度数．
点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，一次函数与x轴的交点，坐标与图形性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．