Question

【题目】如图，在中，，点，分别是，上的点，，相交于点，.

（1）如图1，求证：；

（2）作交的延长线于点，.

①如图2，求证：；

②如图3，过点作于点，若，，直接写出的长为______.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②4.

【解析】

（1）根据三角形的外角性质得到∠APE=∠ABP+∠BAD，得到∠APE=∠ABC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠ABC，等量代换证明结论；
（2）①过点作于点，于点，证明，得到EH=EG，根据角平分线的判定定理得到∠ADF=∠CDF，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理证明；
②根据全等三角形的性质得到PH=GC，DH=DG，结合图形列式计算得到答案．

（1）证明：∵，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2））①证明：过点作于点，于点，

∵，，，

∴，

∴，

∴平分，

即，

∵，

∴，

∴

∴；

②解：如图，作EH⊥AD于H，

由（2）①可知，△EHP≌△EGC，
∴PH=GC，
在△DEH和△DEG中，
，
∴△DEH≌△DEG（AAS）
∴DH=DG，
∴DG=DH=DP+PH=1+GC，
∴1+GC+GC=7，
解得，GC=3，
∴DG=DC-GC=7-3=4，
故答案为：4．