Question

如图，已知c＜0，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点（x₂＞x₁），与y轴交于点C．

（1）若x₂=1，BC=，求函数y=x²+bx+c的最小值；

（2）过点A作AP⊥BC，垂足为P（点P在线段BC上），AP交y轴于点M．若=2，求抛物线y=x²+bx+c顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．

Answer 1

       解：（1）∵x₂=1，BC=，

∴OC==2，

∴C（0，﹣2），

把B（1，0），C（0，﹣2）代入y=x²+bx+c，得：0=1+b﹣2，

解得：b=1，

∴抛物线的解析式为：y=x²+x+﹣2．

转化为y=（x+）²﹣；

∴函数y=x²+bx+c的最小值为﹣．

（2）∵∠OAM+∠OBC=90°，∠OCB+∠OBC=90°，

∴∠OAM=∠OCB，又∵∠AOM=∠BOC=90°，

∴△AOM∽△COB，

∴，

∴OC=•OB=2OB，

∴﹣c=2x₂，即x₂=﹣．

∵x₂²+bx₂+c=0，将x₂=﹣代入化简得：c=2b﹣4．

抛物线的解析式为：y=x²+bx+c，其顶点坐标为（﹣，）．

令x=﹣，则b=﹣2x．

y==c﹣=2b﹣4﹣=﹣4x﹣4﹣x²，

∴顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式为：y=﹣x²﹣4x﹣4（x＞﹣）．