题目内容

如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的双曲线y= $数学公式$ 上有一点P，当点P沿射线OA的方向平移 $数学公式$ 个单位时，其对应点P₁恰好落在双曲线上；当点P沿射线OB的方向平移 $数学公式$ 个单位时，其对应点P₂也恰好落在双曲线上，则k=________．

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分析：设P点坐标为（a，b）过A点、B点分别作AC⊥y轴，BD⊥y轴，如图，则OA $\text{[math]}$ OC= $\text{[math]}$ AC，BD=2OD，OB= $\text{[math]}$ OD，则得到点P沿射线OA的方向平移2 $\text{[math]}$ 个单位时，相当于向下平移2个单位，向右平移了2个单位，所以P₁的坐标为（a-2，b+2），同理得到P₂的坐标为（a-3，b+6）；然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，于是k=ab=8．
解答：设P点坐标为（a，b），

过A点、B点分别作AC⊥y轴，BD⊥y轴，如图，则OA $\text{[math]}$ OC= $\text{[math]}$ AC，BD=2OD，OB= $\text{[math]}$ OD，
当点P沿射线OA的方向平移2 $\text{[math]}$ 个单位时，相当于向下平移2个单位，向右平移了2个单位，所以P₁的坐标为（a-2，b+2）；
当点P沿沿射线OB的方向平移3 $\text{[math]}$ 个单位时，相当于向下平移3个单位，向右平移了6个单位，所以P₂的坐标为（a-3，b+6）；
因为点P、P₁和P₂都在图象y= $\text{[math]}$ 上，
所以 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
所以k=ab=8．
故答案为8．
点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= $\text{[math]}$ （k≠0）图象上点的横纵坐标之积为k．也考查了坐标与图象变化-平移．