Question

4．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=$\frac{2}{x}$上，第二象限内的点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$上，且OA⊥OB，tanA=$\sqrt{2}$，则k的值为-4．

Answer 1

分析 作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，易证△OBD∽△AOC，则面积的比等于相似比的平方，即tanA的平方，然后根据反比例函数中比例系数k的几何意义即可求解．

解答 解：如图，
作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D．
则∠BDO=∠ACO=90°，
则∠BOD+∠OBD=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠BOD+∠AOC=90°，
∴∠BOD=∠AOC，
∴△OBD∽△AOC，
∴$\frac{{S}_{△OBD}}{{S}_{△AOC}}$=（$\frac{OB}{OA}$）²=（tanA）²=2，
又∵S_△AOC=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴S_△OBD=2，
∴k=-4．
故答案为：-4．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，以及反比例函数的比例系数k的几何意义，正确作出辅助线求得两个三角形的面积的比是关键．