Question

13．已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，M是AB的中点，分别连接AC、BD、MD、MC，且AC与MD交于点E，DB与MC交于F．
（1）求证：EF∥CD；
（2）若AB=a，CD=b，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）根据AB∥CD，得到△AME∽△CDE，△BMF∽△CDF，于是得到$\frac{AM}{CD}=\frac{ME}{DE}$，$\frac{BM}{CD}=\frac{MF}{CF}$，等量代换得到$\frac{ME}{ED}=\frac{MF}{CF}$，然后根据平行线分线段成比例定理即可得到论；
（2）由（1）证得$\frac{AM}{CD}=\frac{ME}{DE}$，即$\frac{\frac{1}{2}a}{b}=\frac{ME}{DE}$，根据比例的性质得到$\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{2}a+b}=\frac{ME}{MD}$，然后根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．

解答 解：（1）∵M是AB的中点，
∴AM=BM，
∵AB∥CD，
∴△AME∽△CDE，△BMF∽△CDF，
∴$\frac{AM}{CD}=\frac{ME}{DE}$，$\frac{BM}{CD}=\frac{MF}{CF}$，
∴$\frac{ME}{ED}=\frac{MF}{CF}$，
∴EF∥CD；

（2）由（1）证得$\frac{AM}{CD}=\frac{ME}{DE}$，∵AB=a，CD=b，
∴$\frac{\frac{1}{2}a}{b}=\frac{ME}{DE}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{2}a+b}=\frac{ME}{MD}$，
∵EF∥CD，
∴$\frac{ME}{MD}=\frac{EF}{CD}$，
即：$\frac{EF}{b}=\frac{\frac{1}{2}a}{b+\frac{1}{2}a}$，
∴EF=$\frac{ab}{2b+a}$．

点评 本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，比例的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．