Question

如图，AB是半圆O的直径，AC是⊙O的切线，过点O作弦AD的垂线交弦AD于点E，交AC 于点C．若OC=20，AB=24．
（1）求证：∠B=∠AOC．　　　
（2）求DB的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB为半圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵CO⊥AD，
∴∠AEO=90°，
∴∠ADB=∠AEO，
∴CO∥DB，
∴∠B=∠AOC；

（2）解：∵AB为半圆O的直径，AC为圆O的切线，
∴∠ADB=∠CAO=90°，
∵∠B=∠AOC，
∴△CAO∽△ADB，
∴=，
∵OC=20，AB=24，
∴OA=12，
∴=，
则DB=．
分析：（1）由AB为半圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，再由CO⊥AD，利用垂直定义得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到CO∥DB，再利用两直线平行同位角相等即可得证；
（2）AC为圆O的切线，利用切线的性质得到CA垂直于AB，进而得到一对直角相等，再由（1）得到一对角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形ACO与三角形ABD相似，由相似得比例，将各自的值代入计算即可求出DB的长．
点评：此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．