Question

有两个正整数a、b，它们的平方和为5 8 5，而最大公约数与最小公倍数的和为87．则a+b=

 

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Answer 1

分析：先设所求的正整数a＜b，并设（a，b）=d，从而得到a=dx，b=dy．且（x，y）=1，所以有[a，b]=dry，再根据题意列出关于x、y的方程组，从而解得x、y的值，然后得出a、b的值，最后算出a+b的值．

解答：解：设所求的正整数a＜b，并设（a，b）=d，
则有a=dx，b=dy．且（x，y）=1．
于是，有[a，b]=dry．
依题意得

d2x2+d2y2=585    d+dxy=87

即

x2+y2= 585 d2 1+xy= 87 d

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因为585=3²×5×13．而d2|585，所以，d=3．则x+y=11．xy=28．
解得x=4，y=7．故a=3×4=12，b=3×7=21．a+b=33．
故答案为33．

点评：本题考查了最大公约数和最小公倍数的问题，解题的关键是认真审题，弄清题意，此题难度较大．