题目内容
(1)方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1,x2,则p |
(x1+1)(x2+1) |
(2)已知k为整数,且关于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x+18=0有两个不相同的正整数根,则k=
(3)两个质数a,b恰好是关于x的方程x2-21x+t=0的两个根,则
b |
a |
a |
b |
(4)方程x2+px+q=0的两个根都是正整数,并且p+q=1992,则方程较大根与较小根的比等于
(5)已知方程(a2-1)x2-2(5a+1)x+24=0有两个不相等的负整数根,则整数a的值是
分析:(1)根据十字相乘法分解原方程的左边,然后根据质数的定义及根与系数的关系来解答;
(2)与(5)由根的判别式首先大体确定取值,再根据题目要求与根与系数的关系确定取值即可;
(3)根据一元二次方程中根与系数的关系确定a与b的关系式,再由质数的定义确定a与b的取值即可;
(4)根据一元二次方程中根与系数的关系确定关系式,抓住关系式p+q+1=x1x2-x1-x2+1=(x1-1)(x2-1)=1992+1=1993是解题的关键,再由质数的性质即可求解.
(2)与(5)由根的判别式首先大体确定取值,再根据题目要求与根与系数的关系确定取值即可;
(3)根据一元二次方程中根与系数的关系确定a与b的关系式,再由质数的定义确定a与b的取值即可;
(4)根据一元二次方程中根与系数的关系确定关系式,抓住关系式p+q+1=x1x2-x1-x2+1=(x1-1)(x2-1)=1992+1=1993是解题的关键,再由质数的性质即可求解.
解答:解:(1)∵方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根,显然原方程可以化简为(x-a)(x-b)=0,根据十字相乘ab一定为1997的约数,
又∵1997是质数,
∴a=1,b=1997;
∴p=-1998
∵x1+x2=-p,x1•x2=1997,
∴
=
=
=
=
=-
;
故答案为:-
.
(2)∵关于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x+18=0有两个不相同的根,
∴
,
解得,k≠±1,且k≠3;
∵k为整数,且关于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x+18=0有两个不相同的正整数根,
∴设两根分别为:a与b,
则ab=
,a+b=
,ab>0,a+b>0,
∴k2-1=3,
∴k=2.
故答案为:2.
(3)∵两个质数a,b恰好是关于x的方程x2-21x+t=0的两个根,
∴a+b=21,ab=t,
∵a,b是质数,
∴a=2,b=19或a=19,b=2,
∴
+
=
+
=
.
故答案为:
.
(4)设两根分别为x1,x2,
则x1+x2=-p,x1x2=q,
p+q+1=x1x2-x1-x2+1=(x1-1)(x2-1)=1992+1=1993,
∵把1993分解,1993是质数,不能分解,
不妨假设x1>x2,只能是:
x1-1=1993,x2-1=1,
x1=1994,x2=2,
∴大根比小根为:
=997.
故答案为:997.
(5)∵方程(a2-1)x2-2(5a+1)x+24=0有两个不相等的负整数根,
∴
,
解得,a≠±1,且a≠-5;
∵方程(a2-1)x2-2(5a+1)x+24=0有两个不相等的负整数根,
∴设两根分别为:a与b,
则ab=
,a+b=
,ab>0,a+b<0,
∴a2-1=3,
∴a=-2.
故答案为:-2.
又∵1997是质数,
∴a=1,b=1997;
∴p=-1998
∵x1+x2=-p,x1•x2=1997,
∴
p |
(x1+1)(x2+1) |
=
p |
x1x2+(x1+x2)+1 |
=
p |
1997-p+1 |
=
p |
1998-p |
=
-1998 |
1998-(-1998) |
=-
1 |
2 |
故答案为:-
1 |
2 |
(2)∵关于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x+18=0有两个不相同的根,
∴
|
解得,k≠±1,且k≠3;
∵k为整数,且关于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x+18=0有两个不相同的正整数根,
∴设两根分别为:a与b,
则ab=
18 |
k2-1 |
9k-3 |
k2-1 |
∴k2-1=3,
∴k=2.
故答案为:2.
(3)∵两个质数a,b恰好是关于x的方程x2-21x+t=0的两个根,
∴a+b=21,ab=t,
∵a,b是质数,
∴a=2,b=19或a=19,b=2,
∴
b |
a |
a |
b |
19 |
2 |
2 |
19 |
365 |
38 |
故答案为:
365 |
38 |
(4)设两根分别为x1,x2,
则x1+x2=-p,x1x2=q,
p+q+1=x1x2-x1-x2+1=(x1-1)(x2-1)=1992+1=1993,
∵把1993分解,1993是质数,不能分解,
不妨假设x1>x2,只能是:
x1-1=1993,x2-1=1,
x1=1994,x2=2,
∴大根比小根为:
1994 |
2 |
故答案为:997.
(5)∵方程(a2-1)x2-2(5a+1)x+24=0有两个不相等的负整数根,
∴
|
解得,a≠±1,且a≠-5;
∵方程(a2-1)x2-2(5a+1)x+24=0有两个不相等的负整数根,
∴设两根分别为:a与b,
则ab=
24 |
a2-1 |
10a+2 |
a2-1 |
∴a2-1=3,
∴a=-2.
故答案为:-2.
点评:此题考查了一元二次方程中根与系数的关系及韦达定理,解题的关键是灵活应用关系式与已知条件进行分析求解.
练习册系列答案
相关题目