Question

若k是自然数，且关于x的二次方程（k-1）x²-px+k=0有两个正整数根，则k^kp•（p^p+k^k）+k^k-p+2+kp+1=

 

．

Answer 1

分析：先设α、β是方程（k-1）x²-px+k=0的两个正整数根，再由根与系数的关系可得出关于k的方程，求出k、p的值，代入所求代数式进行计算即可．

解答：解：设α、β是方程（k-1）x²-px+k=0的两个正整数根，
则αβ=

k

k-1

=1+

1

k-1

，α+β=

p

k-1

.
由于α、β是正整数，故αβ也是正数，从而k=2，则αβ=2且α+β=3=

p

p-1

，
故p=3，从而k^kp（p^p+k^k）+k^k+2-p+kp+1=2⁶（3³+2²）+2^2+2-3+2×3+1=1993．
故答案为：1993．

点评：本题考查的是一元二次方程的整数根及根与系数的关系，根据根与系数的关系得出关于关于k的方程是解答此题的关键．